Задача
а) ПустьM— выпуклый многоугольник, площадь которого равнаS, а периметр равенP;D— круг радиусаR. Докажите, что площадь фигуры$\lambda_{1}^{}$M+$\lambda_{2}^{}$Dравна
$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$PR + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$$\displaystyle \pi$R2.
б) Докажите, чтоS$\le$P2/4$\pi$.
Решение
а) Фигура$\lambda_{1}^{}$M+$\lambda_{2}^{}$Dсостоит из точек, удалённых не более чем на$\lambda_{2}^{}$Rот многоугольника, гомотетичногоMс коэффициентом$\lambda_{1}^{}$. Площадь такой фигуры равна$\lambda_{1}^{2}$S+$\lambda_{1}^{}$$\lambda_{2}^{}$PR+$\lambda_{2}^{2}$$\pi$R2. (см. решение задачи 9.42). б) Согласно неравенству Брунна
$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$PR + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$$\displaystyle \pi$R2$\displaystyle \ge$($\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \sqrt{S}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$$\displaystyle \sqrt{\pi R^2}$)2,
т.е.PR$\ge$2$\sqrt{S\pi R^2}$. ПоэтомуS$\le$P2/4$\pi$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет