Задача
а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами. б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.
Решение
а) ПустьABCD— данный параллелограмм. В меньшем параллелограмме, гомотетичном ему, любой отрезок, параллельный сторонеAB, строго меньшеAB. То же самое верно не только для сторон, но и для диагоналей. Поэтому каждую из четырёх вершин параллелограмма должен покрывать свой параллелограмм. б) Пусть выпуклый многоугольникMотличен от параллелограмма. Воспользовавшись результатом задачи 22.8, выберем три стороны многоугольникаM, при продолжении которых образуется треугольникABC, объемлющий многоугольникM. Затем выберем на этих трёх сторонах точкиA1,B1иC1, отличные от вершин многоугольника (точкаA1лежит на прямойBCи т.д.). Наконец, выберем произвольную точкуOвнутри многоугольникаM. ОтрезкиOA1,OB1иOC1разрезаютMна три части. Рассмотрим гомотетию с центромA. Если коэффициент этой гомотетии достаточно близок к 1, то образ многоугольникаMполностью покрывает ту часть, которую отрезаютOB1иOC1. Две остальные части покрываются аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь