Задача
Докажите, чтоS12$\ge$$\sqrt{S_1S_2}$, т.е.$\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$$\ge$$\lambda_{1}^{}$$\sqrt{S_1}$+$\lambda_{2}^{}$$\sqrt{S_2}$(Брунн).
Решение
Рассмотрим сначала случай, когдаM1иM2— прямоугольники с параллельными сторонами. Пустьa1иb1— длины сторон прямоугольникаM1,a2иb2— длины сторон прямоугольникаM2(сторонаa1параллельна сторонеa2). Тогда$\lambda_{1}^{}$M1+$\lambda_{2}^{}$M2— прямоугольник со сторонами$\lambda_{1}^{}$a1+$\lambda_{2}^{}$a2и$\lambda_{1}^{}$b1+$\lambda_{2}^{}$b2. Таким образом, нужно проверить неравенство
($\displaystyle \lambda_{1}^{}$a1 + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$a2)($\displaystyle \lambda_{1}^{}$b1 + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$b2)$\displaystyle \ge$($\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \sqrt{a_1b_1}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$$\displaystyle \sqrt{a_2b_2}$)2,
т.е.a1b2+a2b1$\ge$2$\sqrt{a_1a_2b_1b_2}$. Это — неравенство между средним
арифметическим и средним геометрическим двух чисел.
Рассмотрим теперь случай, когда многоугольникM1устроен следующим образом:n- 1 горизонтальных прямых разрезают его наnпрямоугольников площадиS1/n; многоугольникM2устроен аналогично. Тогда площадь суммы
прямоугольников с одинаковыми номерами не меньше
$\displaystyle \left(\vphantom{\lambda_1\sqrt{\frac{S_1}{n}}+\lambda_2\sqrt{\frac{S_2}{n}}}\right.$$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \sqrt{\frac{S_1}{n}}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$$\displaystyle \sqrt{\frac{S_2}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\lambda_1\sqrt{\frac{S_1}{n}}+\lambda_2\sqrt{\frac{S_2}{n}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{1}{n}}$($\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \sqrt{S_1}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$$\displaystyle \sqrt{S_2}$)2.
Каждая из таких сумм содержится в многоугольнике$\lambda_{1}^{}$M1+$\lambda_{2}^{}$M2.
Ясно также, что всеnтаких сумм прямоугольников не перекрываются, поскольку
сумма полосы, ограниченной параллельными прямымиl1иl1', и полосы,
ограниченной параллельными прямымиl2иl2', является полосой,
ограниченной прямыми$\lambda_{1}^{}$l1+$\lambda_{2}^{}$l2и$\lambda_{1}^{}$l1' +$\lambda_{2}^{}$l2' (предполагается, что прямаяl1расположена
выше прямойl1', а прямаяl2— вышеl2'). Следовательно, площадь
многоугольника$\lambda_{1}^{}$M1+$\lambda_{2}^{}$M2не меньше($\lambda_{1}^{}$$\sqrt{S_1}$+$\lambda_{2}^{}$$\sqrt{S_2}$)2.
МногоугольникиM1иM2можно с любой точностью приблизить
многоугольниками рассмотренного выше вида, поэтому требуемое неравенство в
случае выпуклых многоугольников общего вида доказывается предельным переходом.
Замечание.
НеравенствоS12$\ge$$\sqrt{S_1S_2}$называютнеравенством Брунна-Минковскогов связи с
тем, что Минковский доказал, что это неравенство обращается в равенство тогда и
только тогда, когда многоугольникиM1иM2гомотетичны.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет