Мы докажем более общее утверждение. Пусть p,qи r — натуральные числа, причемp,q$\ge$r. Тогда существует числоN=N(p,q,r), обладающее следующим свойством: если всеr-элементные подмножестваN-элементного множества Sпроизвольным образом разбиты на два непересекающихся семейства $\alpha$и $\beta$, то либо существуетp-элементное подмножество множества S, всеr-элементные подмножества которого содержатся в $\alpha$, либо существуетq-элементное подмножество, всеr-элементные подмножества которого содержатся в $\beta$(теорема Рамсея). Требуемое утверждение легко следует из теоремы Рамсея. В самом деле, пустьN=N(n, 5, 4) и семейство $\alpha$состоит из тех четырехэлементных подмножествN-элементного множества точек, выпуклые оболочки которых — четырехугольники. Тогда существуетn-элементное подмножество данного множества точек, выпуклые оболочки любых четырехэлементных подмножеств которого — четырехугольники, так как пятиэлементного подмножества, выпуклые оболочки любых четырехэлементных подмножеств которого — треугольники, не существует (см. задачу 22.2). Остается воспользоваться результатом задачи 22.1. Докажем теперь теорему Рамсея. Легко проверить, что в качествеN(p,q, 1),N(r,q,r) и N(p,r,r) можно взять числаp+q- 1,qи pсоответственно. Докажем теперь, что еслиp>rи q>r, то в качествеN(p,q,r) можно взять числоN(p₁,q₁,r- 1) + 1, гдеp₁=N(p- 1,q,r) и q₁=N(p,q- 1,r). В самом деле, выбросим изN(p,q,r)-элементного множества Sодин элемент и разобьем (r- 1)-элементные подмножества оставшегося множества S'на два семейства: семейство $\alpha{^\prime}$(соответственно $\beta{^\prime}$) состоит из тех подмножеств, объединения которых с выброшенным элементом входят в семейство $\alpha$(соответственно $\beta$). Тогда либо существуетp₁-элементное подмножество множества S', все (r- 1)-элементные подмножества которого содержатся в семействе $\alpha{^\prime}$, либо существуетq₁-элементное подмножество, все (r- 1)-элементные подмножества которого содержатся в семействе $\beta{^\prime}$. Рассмотрим первый случай. Так какp₁=N(p- 1,q,r), то либо существуетq-элементное подмножество множества S', всеr-элементные подмножества которого лежат в $\beta$(тогда эти qэлементов искомые), либо существует (p- 1)-элементное подмножество множества S', всеr-элементные подмножества которого содержатся в $\alpha$(тогда эти p- 1 элементов вместе с выброшенным элементом искомые). Второй случай рассматривается аналогично. Итак, доказательство теоремы Рамсея можно провести индукцией по r, причем при доказательстве шага индукции используется индукция поp+q.

Ответ задачи отсутствует