Задача
а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точкуOвнутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точкиOна эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точкуOможно выбрать для всех сторон одновременно. б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точкуOможно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.
Решение
а) Для каждой стороныABданного многоугольника рассмотрим полосу, ограниченную перпендикулярами к прямойAB, проведёнными через точкиAиB. К этому набору выпуклых фигур добавим ещё и сам многоугольник. По условию любые три из этих фигур имеют общую точку. Поэтому по теореме Хелли все они имеют общую точку. б) ПустьABCD— данный выпуклый четырёхугольник. Согласно задаче а) достаточно проверить, что требуемую точкуOможно выбрать для любых трёх его сторон. Докажем, например, что её можно выбрать для сторонAB,BCиCD. ПустьX— множество всех точек четырёхугольника, для которых основания перпендикуляров, опущенных на стороныABиCD, лежат на самих этих сторонах. По условию это множество не пусто. Рассмотрим три случая.
- УглыBиCоба не тупые. Тогда нам подходит любая точка множестваX.
- УглыBиCоба тупые. Тогда нам подходит точка пересечения перпендикуляров кABиCD, восставленных из точекBиC.
- УголBне тупой, а уголCтупой. Тогда нам подходит любая точка множестваX, лежащая на перпендикуляре к прямойCD, восставленном из точкиC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь