Для любой невыпуклой фигуры существует выпуклая фигура того же периметра и большей площади (задачи 22.BIs9и 22.BIs10). Поэтому можно ограничиться выпуклыми фигурами. Пусть$\Phi$— выпуклая фигура, отличная от круга,K— круг. Нужно доказать, что дляKотношение площади к квадрату периметра больше, чем для$\Phi$. Площадь и периметр$\Phi$иKможно определить как предел площадей и периметров описанных вокруг$\Phi$иKмногоугольников, все внешние углы которых стремятся к нулю. Пусть некоторый многоугольник описан вокругK. Рассмотрим другой многоугольник, соответственные стороны которого параллельны сторонам первого, а описан он вокруг$\Phi$. Для первого многоугольника отношение площади к квадрату периметра больше, чем для второго (задача 22.BIs13). Переходя к пределу, получаем, что отношение площади к квадрату периметра дляKне меньше, чем для$\Phi$. Если фигура$\Phi$периметра 1 отлична от круга, то её площадь не может равняться площади круга периметра 1, поскольку тогда существовала бы фигура$\Phi{^\prime}$периметра 1, площадь которой была бы больше площади$\Phi$(задача 22.BIs12), т.е. больше площади круга периметра 1. Замечание. Другое доказательство требуемого утверждения приведено в решении задачи 22.12B6 б).

Ответ задачи отсутствует