Задачи и олимпиады по математике

Задача

ПустьS₁иS₂— площади многоугольниковM₁иM₂. Докажите, что площадьS($\lambda_{1}^{}$,$\lambda_{2}^{}$) многоугольника$\lambda_{1}^{}$M₁+$\lambda_{2}^{}$M₂равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S₁ + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$S₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$S₂,

гдеS₁₂зависит только отM₁иM₂.

Решение

Выберем внутри многоугольникаM_iточкуO_iи разрежем его на треугольники с вершинойO_i; многоугольник$\lambda_{1}^{}$M₁+$\lambda_{2}^{}$M₂разрежем на треугольники с вершинойO=$\lambda_{1}^{}$O₁+$\lambda_{2}^{}$O₂. Снова, как и в решении задачи 22.12B3, возьмём прямуюlи рассмотрим отрезки, по которым прямаяlпересекаетM₁иM₂в первые моменты соприкосновения. Пустьa₁иa₂— длины этих отрезков. Паре треугольников с основаниямиa₁иa₂и высотамиh₁иh₂соответствует треугольник с основанием$\lambda_{1}^{}$a₁+$\lambda_{2}^{}$a₂и высотой$\lambda_{1}^{}$h₁+$\lambda_{2}^{}$h₂. Остается заметить, что

($\displaystyle \lambda_{1}^{}$a₁ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$a₂)($\displaystyle \lambda_{1}^{}$h₁ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$h₂) = $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$a₁h₁ + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$(a₁h₂ + a₂h₁) + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$a₂h₂.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления