а) Обозначим данные фигуры через M₁,M₂,M₃и M₄. Пусть A_i — точка пересечения всех фигур, кроме M_i. Возможны два варианта расположения точек A_i.

1. Одна из точек, например A₄, лежит внутри треугольника, образованного остальными точками. Так как точкиA₁,A₂,A₃принадлежат выпуклой фигуре M₄, то и все точки треугольникаA₁A₂A₃принадлежат M₄. Поэтому точка A₄принадлежит M₄, а остальным фигурам она принадлежит по своему определению. 2.A₁A₂A₃A₄ — выпуклый четырехугольник. Пусть C — точка пересечения диагоналейA₁A₃и A₂A₄. Докажем, что точка Cпринадлежит всем данным фигурам. Обе точки A₁и A₃принадлежат фигурам M₂и M₄, поэтому отрезокA₁A₃принадлежит этим фигурам. Аналогично отрезокA₂A₄принадлежит фигурам M₁и M₃. Следовательно, точка пересечения отрезковA₁A₃и A₂A₄принадлежит всем данным фигурам. б) Доказательство проведем индукцией по числу фигур. Дляn= 4 утверждение доказано в предыдущей задаче. Докажем, что если утверждение верно дляn$\ge$4 фигур, то оно верно и дляn+ 1 фигуры. Пусть даны выпуклые фигуры$\Phi_{1}^{}$,...,$\Phi_{n}^{}$,$\Phi_{n+1}^{}$, каждые три из которых имеют общую точку. Рассмотрим вместо них фигуры$\Phi_{1}^{}$,...,$\Phi_{n-1}^{}$,$\Phi_{n}{^\prime}$, где $\Phi_{n}{^\prime}$является пересечением $\Phi_{n}^{}$и $\Phi_{n+1}^{}$. Ясно, что фигура $\Phi_{n}{^\prime}$тоже выпукла. Докажем, что любые три из новых фигур имеют общую точку. Сомнение в этом может возникнуть только для тройки фигур, содержащей $\Phi_{n}{^\prime}$, но из предыдущей задачи следует, что фигуры $\Phi_{i}^{}$,$\Phi_{j}^{}$,$\Phi_{n}^{}$и $\Phi_{n+1}^{}$всегда имеют общую точку. Следовательно, по предположению индукции$\Phi_{1}^{}$,...,$\Phi_{n-1}^{}$,$\Phi_{n}{^\prime}$имеют общую точку, т. е.$\Phi_{1}^{}$,...,$\Phi_{n}^{}$,$\Phi_{n+1}^{}$имеют общую точку.

Ответ задачи отсутствует