Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» для 2-9 класса - сложность 1-4 с решениями

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка <i>P</i>. Точка <i>Q</i>такова, что<i>CQ</i>||<i>AP</i>, а точка <i>R</i>такова, что<i>AR</i>||<i>BQ</i>и <i>CR</i>||<i>BP</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABC=<i>S</i>_PQR.

Точки <i>P</i>₁,<i>P</i>₂и <i>P</i>₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>P</i>_i,<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>P</i>_i,...,<i>A</i>_{2n - 1}<i>A</i>_2n<i>P</i>_iравна одному и тому...

Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

а) Докажите, что<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) = -<i>S</i>(<i>B</i>,<i>A</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>B</i>,<i>C</i>,<i>A</i>). б) Докажите, что для любых точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>справедливо равенство<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>C</i>,<i>A</i>).

Пусть<b>a</b>= (<i>a</i>₁,<i>a</i>₂) и <b>b</b>= (<i>b</i>₁,<i>b</i>₂). Докажите, что<b>a</b>$\vee$<b>b</b>=<i>a</i>₁<i>b</i>₂-<i>a</i>₂<i>b</i>₁.

Докажите, что: а)($\lambda$<b>a</b>)$\vee$<b>b</b>=$\lambda$(<b>a</b>$\vee$<b>b</b>); б)<b>a</b>$\vee$(<b>b</b>+<b>c</b>) =<b>a</b>$\vee$<b>b</b>+<b>a</b>$\vee$<b>c</b>.

Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше <i>d</i>, то его периметр меньше$\pi$<i>d</i>.

Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна <i>L</i>. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше<i>L</i>/$\pi$.

Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.

Даны два набора векторов<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_nи <b>b</b>₁,...,<b>b</b>_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

Пусть <i>O</i>и <i>R</i> — центр и радиус описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>Z</i>и <i>r</i> — центр и радиус его вписанной окружности;<i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что точка <i>Z</i>лежит на отрезке<i>OK</i>, причем<i>OZ</i>:<i>ZK</i>= 3<i>R</i>:<i>r</i>.

Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — длины сторон треугольника<i>ABC</i>,<b>n</b>_a,<b>n</b>_bи <b>n</b>_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>³<b>n</b>_a + <i>b</i>³<b>n</b>_b + <i>c</i>³<b>n</b>_c = 12<i>S</i>^.$\displaystyle \overrightarrow{MO}$, </div>где <i>S</i...

Пусть<b>a</b>₁,<b>a</b>₂, ...,<b>a</b>_{2n + 1}— векторы длины 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b>₁±<b>a</b>₂±...±<b>a</b>_{2n + 1}знаки можно выбрать так, что|<b>c</b>|$\le$1.

Выпуклый 2<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписан в окружность радиуса 1. Докажите, что<div align="CENTER"> |$\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$|$\displaystyle \le$2. </div>

Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>,$\alpha$=<i>S</i>_BXC,$\beta$=<i>S</i>_CXAи $\gamma$=<i>S</i>_AXB. Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>на произвольную прямую <i>l</i>. Докажите, что длина вектора$\alpha$$\overrightarrow{AA_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BB_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CC_1}$равна($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)<i>d</i>, где <i>d</i> — расстояние от точки <i>X</i>до прямой <i>l</i>.

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>. а) Пусть <i>S</i>_a — окружность радиуса <i>R</i>с центром в ортоцентре треугольника<i>BCD</i>; окружности <i>S</i>_b,<i>S</i>_cи <i>S</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке. б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>пересекаются в одной точке.

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть <i>H</i>_a — ортоцентр треугольника<i>BCD</i>,<i>M</i>_a — середина отрезка<i>AH</i>_a; точки <i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что точки <i>M</i>_a,<i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dсовпадают.

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Отрезки<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁,<i>CC</i>₁и<i>AA</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и <i>C</i>₂соответственно. Докажите, что если$\overrightarrow{AA_2}$+$\overrightarrow{BB_2}$+$\overrightarrow{...

Через точку <i>M</i>пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что(1/$\overline{MA_1}$) + (1/$\overline{MB_1}$) + (1/$\overline{MC_1}$) = 0 (отрезки<i>MA</i>₁,<i>MB</i>₁и <i>MC</i>₁считаются ориентированными).

Точки <i>A</i>и <i>B</i>движутся по двум фиксированным лучам с общим началом <i>O</i>так, что величина${\frac{p}{OA}}$+${\frac{q}{OB}}$остается постоянной. Докажите, что прямая<i>AB</i>при этом проходит через фиксированную точку.

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i>_BOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + <i>S</i>_AOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + <i>S</i>_AOB^.$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$. </div>

Дано несколько точек и для некоторых пар (<i>A</i>,<i>B</i>) этих точек взяты векторы$\overrightarrow{AB}$, причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$.

Докажите, что точка <i>X</i>лежит на прямой<i>AB</i>тогда и только тогда, когда$\overrightarrow{OX}$=<i>t</i>$\overrightarrow{OA}$+ (1 -<i>t</i>)$\overrightarrow{OB}$для некоторого <i>t</i>и любой точки <i>O</i>.