Задача
Через точку Mпересечения медиан треугольникаABCпроведена прямая, пересекающая прямыеBC,CAи ABв точках A1,B1и C1. Докажите, что(1/$\overline{MA_1}$) + (1/$\overline{MB_1}$) + (1/$\overline{MC_1}$) = 0 (отрезкиMA1,MB1и MC1считаются ориентированными).
Решение
Пустьa=$\overrightarrow{MA}$,b=$\overrightarrow{MB}$и c=$\overrightarrow{MC}$. Тогдаe=$\overrightarrow{MC_1}$=pa+ (1 -p)bи $\overrightarrow{MA_1}$=qc+ (1 -q)b= -qa+ (1 - 2q)b. С другой стороны,$\overrightarrow{MA_1}$=$\alpha$e. Аналогично$\beta$e=$\overrightarrow{MB_1}$= -rb+ (1 - 2r)a. Требуется доказать, что1 + (1/$\alpha$) + (1/$\beta$) = 0. Так как$\alpha$pa+$\alpha$(1 -p)b=$\alpha$e= -qa+ (1 - 2q)b, то$\alpha$p= -qи $\alpha$(1 -p) = 1 - 2q, а значит,1/$\alpha$= 1 - 3p. Аналогично$\beta$p= 1 - 2rи $\beta$(1 -p) = -r, а значит,1/$\beta$= 3p- 2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь