Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 8 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что треугольник <i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что<div align="CENTER"> 2(<i>B</i>₁<i>C</i>₁cos$\displaystyle \alpha$ + <i>C</i>₁<i>A</i>₁cos$\displaystyle \beta$ + <i>A</i>₁<i>B</i>₁cos$\displaystyle \gamma$) $\displaystyle \geq$ <i>a</i> cos$\displaystyle \alpha$ + <i>b</i> cos$\displaystyle \beta$ + <i&g...

Пусть <i>h</i> — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что <i>r</i>+<i>R</i>$\leq$<i>h</i>.

Пусть$\angle$<i>A</i><$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>C</i>< 90^<tt>o</tt>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит внутри треугольника<i>BOH</i>, где<i>O</i> — центр описанной окружности,<i>H</i> — точка пересечения высот.

<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>m</i>_a²+<i>m</i>_b²> 29<i>r</i>².

Даны треугольник <i>ABC</i>со сторонами <i>a</i>><i>b</i>><i>c</i>и произвольная точка <i>O</i>внутри его. Пусть прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>,<i>CO</i>пересекают стороны треугольника в точках <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>. Докажите, что <i>OP</i>+<i>OQ</i>+<i>OR</i><<i>a</i>.

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Докажите, что <i>r</i>_a²+<i>r</i>_b²+<i>r</i>_c²$\geq$27<i>R</i>²/4.

Докажите, что 16<i>Rr</i>- 5<i>r</i>²$\leq$<i>p</i>²$\leq$4<i>R</i>²+ 4<i>Rr</i>+ 3<i>r</i>².

Докажите, что а) 5<i>R</i>-<i>r</i>$\geq$$\sqrt{3}$<i>p</i>; б) 4<i>R</i>-<i>r</i>_a$\geq$(<i>p</i>-<i>a</i>)[$\sqrt{3}$+ (<i>a</i>²+ (<i>b</i>-<i>c</i>)²)/(2<i>S</i>)].

Докажите, что3$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$$\geq$4$\left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$${\frac{r_a}{a}}$+${\frac{r_b}{b}}$+${\frac{r_c}{c}}$$\left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6<i>r</i>.

Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, причем <i>OA</i>$\geq$<i>OB</i>$\geq$<i>OC</i>. Докажите, что <i>OA</i>$\geq$2<i>r</i>и <i>OB</i>$\geq$<i>r</i>$\sqrt{2}$.

Докажите, что 27<i>Rr</i>$\leq$2<i>p</i>²$\leq$27<i>R</i>²/2.

Докажите, что ${\frac{r_a}{h_a}}$+${\frac{r_b}{h_b}}$+${\frac{r_c}{h_c}}$$\geq$3.

Докажите, что 6<i>r</i>$\leq$<i>a</i>+<i>b</i>.

Докажите, что 20<i>Rr</i>- 4<i>r</i>²$\leq$<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>$\leq$4(<i>R</i>+<i>r</i>)².

Докажите, что если <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника периметра 2, то <i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²< 2(1 -<i>abc</i>).

Докажите, что 2<i>bc</i>cos$\alpha$/(<i>b</i>+<i>c</i>) <<i>b</i>+<i>c</i>-<i>a</i>< 2<i>bc</i>/<i>a</i>.

Докажите, что <i>l</i>_a+<i>l</i>_b+<i>m</i>_c$\leq$$\sqrt{3}$<i>p</i>.

Докажите, что<div align="CENTER"> <i>l</i>_a²<i>l</i>_b² + <i>l</i>_b²<i>l</i>_c² + <i>l</i>_a²<i>l</i>_c²$\displaystyle \le$<i>rp</i>²(4<i>R</i> + <i>r</i>). </div>

Докажите, что<i>l</i>_a<i>l</i>_b<i>l</i>_c$\le$<i>rp</i>².

Докажите, что: а) <i>l</i>_a²+<i>l</i>_b²+<i>l</i>_c²$\leq$<i>p</i>²; б) <i>l</i>_a+<i>l</i>_b+<i>l</i>_c$\leq$$\sqrt{3}$<i>p</i>.

Докажите, что <i>h</i>_a/<i>l</i>_a$\geq$$\sqrt{2r/R}$.

Пусть <i>a</i>$\leq$<i>b</i>$\leq$<i>c</i>. Докажите, что тогда <i>h</i>_a+<i>h</i>_b+<i>h</i>_c$\leq$3<i>b</i>(<i>a</i>²+<i>ac</i>+<i>c</i>²)/(4<i>pR</i>).