Задача
Докажите, что3$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$$\geq$4$\left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$${\frac{r_a}{a}}$+${\frac{r_b}{b}}$+${\frac{r_c}{c}}$$\left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.
Решение
Пусть $\alpha$= cos(A/2),$\beta$= cos(B/2) и $\gamma$= cos(C/2). Согласно задаче 12.17, б) a/ra=$\alpha$/$\beta$$\gamma$,b/rb=$\beta$/$\gamma$$\alpha$и c/rc=$\gamma$/$\alpha$$\beta$. Поэтому после домножения на $\alpha$$\beta$$\gamma$требуемое неравенство перепишется в виде 3($\alpha^{2}{}$+$\beta^{2}{}$+$\gamma^{2}{}$)$\geq$4($\beta^{2}{}$$\gamma^{2}{}$+$\gamma^{2}{}$$\alpha^{2}{}$+$\alpha^{2}{}$$\beta^{2}{}$). Так как $\alpha^{2}{}$= (1 + cos A)/2,$\beta^{2}{}$= (1 + cos B)/2 и $\gamma^{2}{}$= (1 + cos C)/2, то переходим к неравенству cos A+ cos B+ cos C+ 2(cos Acos B+ cos Bcos C+ cos Ccos A)$\leq$3. Остается воспользоваться результатами задач 10.36и 10.43.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь