Предположим сначала, что центр Oокружности лежит внутри данного пятиугольника A₁A₂A₃A₄A₅. Рассмотрим углы A₁OA₂,A₂OA₃,...,A₅OA₁. В сумме эти пять углов дают 2$\pi$, поэтому один из них, например A₁OA₂, не превосходит 2$\pi$/5. Тогда отрезок A₁A₂можно поместить в сектор OBC, где $\angle$BOC= 2$\pi$/5 и точки Bи Cрасположены на окружности. В треугольнике OBCнаибольшей стороной является BC, поэтому A₁A₂$\leq$BC. Если точка Oне принадлежит данному пятиугольнику, то углы A₁OA₂,...,A₅OA₁дают в объединении угол меньше $\pi$, причем каждая точка этого угла покрыта ими дважды. Поэтому в сумме эти пять углов дают меньше 2$\pi$, т. е. один из них меньше 2$\pi$/5. Дальнейшее доказательство аналогично предыдущему случаю. Если точка Oлежит на стороне пятиугольника, то один из рассматриваемых углов не больше $\pi$/4, а если она является его вершиной, то один из них не больше $\pi$/3. Ясно, что $\pi$/4 <$\pi$/3 < 2$\pi$/5.

Ответ задачи отсутствует