Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей»
параграф 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
НазадДокажите, что <i>r</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>r</i><sub>b</sub><sup>2</sup>+<i>r</i><sub>c</sub><sup>2</sup>$\geq$27<i>R</i><sup>2</sup>/4.
Докажите, что 16<i>Rr</i>- 5<i>r</i><sup>2</sup>$\leq$<i>p</i><sup>2</sup>$\leq$4<i>R</i><sup>2</sup>+ 4<i>Rr</i>+ 3<i>r</i><sup>2</sup>.
Докажите, что а) 5<i>R</i>-<i>r</i>$\geq$$\sqrt{3}$<i>p</i>; б) 4<i>R</i>-<i>r</i><sub>a</sub>$\geq$(<i>p</i>-<i>a</i>)[$\sqrt{3}$+ (<i>a</i><sup>2</sup>+ (<i>b</i>-<i>c</i>)<sup>2</sup>)/(2<i>S</i>)].
Докажите, что3$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$$\geq$4$\left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$${\frac{r_a}{a}}$+${\frac{r_b}{b}}$+${\frac{r_c}{c}}$$\left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6<i>r</i>.
Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, причем <i>OA</i>$\geq$<i>OB</i>$\geq$<i>OC</i>. Докажите, что <i>OA</i>$\geq$2<i>r</i>и <i>OB</i>$\geq$<i>r</i>$\sqrt{2}$.
Докажите, что 27<i>Rr</i>$\leq$2<i>p</i><sup>2</sup>$\leq$27<i>R</i><sup>2</sup>/2.
Докажите, что ${\frac{r_a}{h_a}}$+${\frac{r_b}{h_b}}$+${\frac{r_c}{h_c}}$$\geq$3.
Докажите, что 6<i>r</i>$\leq$<i>a</i>+<i>b</i>.
Докажите, что <i>r</i>/<i>R</i>$\leq$2 sin($\alpha$/2)(1 - sin($\alpha$/2)).
Докажите, что <i>rr</i><sub>c</sub>$\leq$<i>c</i><sup>2</sup>/4.