Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Биссектрисы»
параграф 3. Биссектрисы
НазадДокажите, что <i>l</i><sub>a</sub>+<i>l</i><sub>b</sub>+<i>m</i><sub>c</sub>$\leq$$\sqrt{3}$<i>p</i>.
Докажите, что<div align="CENTER"> <i>l</i><sub>a</sub><sup>2</sup><i>l</i><sub>b</sub><sup>2</sup> + <i>l</i><sub>b</sub><sup>2</sup><i>l</i><sub>c</sub><sup>2</sup> + <i>l</i><sub>a</sub><sup>2</sup><i>l</i><sub>c</sub><sup>2</sup>$\displaystyle \le$<i>rp</i><sup>2</sup>(4<i>R</i> + <i>r</i>). </div>
Докажите, что<i>l</i><sub>a</sub><i>l</i><sub>b</sub><i>l</i><sub>c</sub>$\le$<i>rp</i><sup>2</sup>.
Докажите, что: а) <i>l</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>l</i><sub>b</sub><sup>2</sup>+<i>l</i><sub>c</sub><sup>2</sup>$\leq$<i>p</i><sup>2</sup>; б) <i>l</i><sub>a</sub>+<i>l</i><sub>b</sub>+<i>l</i><sub>c</sub>$\leq$$\sqrt{3}$<i>p</i>.
Докажите, что <i>h</i><sub>a</sub>/<i>l</i><sub>a</sub>$\geq$$\sqrt{2r/R}$.
Докажите, что <i>l</i><sub>a</sub>$\leq$$\sqrt{p(p-a)}$.