Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Высоты»
параграф 2. Высоты
НазадПусть <i>a</i>$\leq$<i>b</i>$\leq$<i>c</i>. Докажите, что тогда <i>h</i><sub>a</sub>+<i>h</i><sub>b</sub>+<i>h</i><sub>c</sub>$\leq$3<i>b</i>(<i>a</i><sup>2</sup>+<i>ac</i>+<i>c</i><sup>2</sup>)/(4<i>pR</i>).
Докажите, что <i>h</i><sub>a</sub>$\leq$(<i>a</i>/2)<i>ctg</i>($\alpha$/2).
Докажите, что <i>h</i><sub>a</sub>$\leq$$\sqrt{r_br_c}$.
Пусть <i>a</i><<i>b</i>. Докажите, что <i>a</i>+<i>h</i><sub>a</sub>$\leq$<i>b</i>+<i>h</i><sub>b</sub>.
Докажите, что <i>h</i><sub>a</sub>+<i>h</i><sub>b</sub>+<i>h</i><sub>c</sub>$\geq$9<i>r</i>.
Докажите, что ${\frac{1}{2r}}$<${\frac{1}{h_a}}$+${\frac{1}{h_b}}$<${\frac{1}{r}}$.
В треугольнике <i>ABC</i>высота <i>AM</i>не меньше <i>BC</i>, а высота <i>BH</i>не меньше <i>AC</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.
Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.