Задача
Докажите, что 2bccos$\alpha$/(b+c) <b+c-a< 2bc/a.
Решение
Докажем сначала, что b+c-a< 2bc/a. Пусть 2x=b+c-a, 2y=a+c-bи 2z=a+b-c. Требуется доказать, что 2x< 2(x+y)(x+z)/(y+z), т. е. xy+xz<xy+xz+x2+yz. Последнее неравенство очевидно. Так как 2bccos$\alpha$=b2+c2-a2= (b+c-a)(b+c+a) - 2bc, то
$\displaystyle {\frac{2bc\cos\alpha }{b+c}}$ = b + c - a + $\displaystyle \left[\vphantom{\frac{(b+c-a)a}{b+c}-\frac{2bc}{b+c}}\right.$$\displaystyle {\frac{(b+c-a)a}{b+c}}$ - $\displaystyle {\frac{2bc}{b+c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{(b+c-a)a}{b+c}-\frac{2bc}{b+c}}\right]$.
Выражение в квадратных скобках отрицательно, так как b+c-a< 2bc/a.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет