Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» - сложность 5 с решениями
глава 10. Неравенства для элементов треугольника
НазадНа сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что<div align="CENTER"> 2(<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>cos$\displaystyle \alpha$ + <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>cos$\displaystyle \beta$ + <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>cos$\displaystyle \gamma$) $\displaystyle \geq$ <i>a</i> cos$\displaystyle \alpha$ + <i>b</i> cos$\displaystyle \beta$ + <i&g...
Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>a'</i>,<i>b'</i>,<i>c'</i>— длины сторон треугольников<i>ABC</i>и<i>A'B'C'</i>,<i>S</i>и<i>S'</i>— их площади. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sup>2</sup>(- <i>a'</i><sup>2</sup> + <i>b'</i><sup>2</sup> + <i>c'</i><sup>2</sup>) + <i>b</i><sup>2</sup>(<i>a'</i><sup>2</sup> - <i>b'</i><sup>2</sup> + <i>c'</i><sup>2</sup>) + <i>c</i><sup>2</...
Докажите, что <i>r</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>r</i><sub>b</sub><sup>2</sup>+<i>r</i><sub>c</sub><sup>2</sup>$\geq$27<i>R</i><sup>2</sup>/4.
Докажите, что 16<i>Rr</i>- 5<i>r</i><sup>2</sup>$\leq$<i>p</i><sup>2</sup>$\leq$4<i>R</i><sup>2</sup>+ 4<i>Rr</i>+ 3<i>r</i><sup>2</sup>.
Докажите, что а) 5<i>R</i>-<i>r</i>$\geq$$\sqrt{3}$<i>p</i>; б) 4<i>R</i>-<i>r</i><sub>a</sub>$\geq$(<i>p</i>-<i>a</i>)[$\sqrt{3}$+ (<i>a</i><sup>2</sup>+ (<i>b</i>-<i>c</i>)<sup>2</sup>)/(2<i>S</i>)].
Докажите, что 20<i>Rr</i>- 4<i>r</i><sup>2</sup>$\leq$<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>$\leq$4(<i>R</i>+<i>r</i>)<sup>2</sup>.
Докажите, что <i>l</i><sub>a</sub>+<i>l</i><sub>b</sub>+<i>m</i><sub>c</sub>$\leq$$\sqrt{3}$<i>p</i>.
Пусть <i>x</i>=<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>,<i>x</i><sub>1</sub>=<i>m</i><sub>a</sub><i>m</i><sub>b</sub>+<i>m</i><sub>b</sub><i>m</i><sub>c</sub>+<i>m</i><sub>c</sub><i>m</i><sub>a</sub>. Докажите, что 9/20 <<i>x</i><sub>1</sub>/<i>x</i>< 5/4.