Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» - сложность 4 с решениями
глава 10. Неравенства для элементов треугольника
НазадДокажите, что треугольник <i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.
Пусть <i>h</i> — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что <i>r</i>+<i>R</i>$\leq$<i>h</i>.
Пусть$\angle$<i>A</i><$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>C</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит внутри треугольника<i>BOH</i>, где<i>O</i> — центр описанной окружности,<i>H</i> — точка пересечения высот.
<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>m</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>m</i><sub>b</sub><sup>2</sup>> 29<i>r</i><sup>2</sup>.
Даны треугольник <i>ABC</i>со сторонами <i>a</i>><i>b</i>><i>c</i>и произвольная точка <i>O</i>внутри его. Пусть прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>,<i>CO</i>пересекают стороны треугольника в точках <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>. Докажите, что <i>OP</i>+<i>OQ</i>+<i>OR</i><<i>a</i>.
Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.
Докажите, что выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i>с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i>$\geq$$\angle$<i>B</i>$\geq$$\angle$<i>C</i>$\geq$$\angle$<i>D</i>$\geq$$\angle$<i>E</i>, является правильным.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что площадь одного из треугольников <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i>не превосходит: а) <i>S</i><sub>ABC</sub>/4; б) <i>S</i><sub>A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub></sub>.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты произвольные точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Пусть <i>a</i>=<i>S</i><sub>AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub></sub>,<i>b</i>=<i>S</i><sub>A<sub>1</sub>BC<sub>1</sub></sub>,<i>c</i>=<i>S</i><sub>A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C</sub>и <i>u</i>=<i>S</i><sub>A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub></sub>. Докажите, что<div align=&q...
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, причем <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>пересекаются в одной точке. Докажите, что <i>S</i><sub>A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub></sub>/<i>S</i><sub>ABC</sub>$\leq$1/4.
Докажите, что а) <i>S</i><sup>3</sup>$\leq$($\sqrt{3}$/4)<sup>3</sup>(<i>abc</i>)<sup>2</sup>; б) 3<i>h</i><sub>a</sub><i>h</i><sub>b</sub><i>h</i><sub>c</sub>$\leq$43$\sqrt{S}$$\leq$3<i>r</i><sub>a</sub><i>r</i><sub>b</sub><i>r</i><sub>c</sub>.
Докажите, что <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>- (<i>a</i>-<i>b</i>)<sup>2</sup>- (<i>b</i>-<i>c</i>)<sup>2</sup>- (<i>c</i>-<i>a</i>)<sup>2</sup>$\geq$4$\sqrt{3}$<i>S</i>.
Из медиан треугольника с углами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$и $\gamma_{m}^{}$(угол $\alpha_{m}^{}$лежит против медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и т. д.) Докажите, что если $\alpha$>$\beta$>$\gamma$, то $\alpha$>$\alpha_{m}^{}$,$\alpha$>$\beta_{m}^{}$,$\gamma_{m}^{}$>$\beta$>$\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$>$\gamma$и $\gamma_{m}^{}$>$\gamma$.
Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>остроугольный.
На медиане <i>BM</i>треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>X</i>. Докажите, что если <i>AB</i><<i>BC</i>, то $\angle$<i>XAB</i>>$\angle$<i>XCB</i>.
Докажите, что cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$- cos 2$\gamma$$\leq$3/2.
<div align="CENTER"> sin 2$\displaystyle \alpha$ + sin 2$\displaystyle \beta$ + sin 2$\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \leq$ sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) + sin($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$) + sin($\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \alpha$). </div>
Докажите, что3$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$$\geq$4$\left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$${\frac{r_a}{a}}$+${\frac{r_b}{b}}$+${\frac{r_c}{c}}$$\left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6<i>r</i>.
Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, причем <i>OA</i>$\geq$<i>OB</i>$\geq$<i>OC</i>. Докажите, что <i>OA</i>$\geq$2<i>r</i>и <i>OB</i>$\geq$<i>r</i>$\sqrt{2}$.
Докажите, что 27<i>Rr</i>$\leq$2<i>p</i><sup>2</sup>$\leq$27<i>R</i><sup>2</sup>/2.
Докажите, что ${\frac{r_a}{h_a}}$+${\frac{r_b}{h_b}}$+${\frac{r_c}{h_c}}$$\geq$3.
Докажите, что 6<i>r</i>$\leq$<i>a</i>+<i>b</i>.
Докажите, что если <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника периметра 2, то <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>< 2(1 -<i>abc</i>).
Докажите, что 2<i>bc</i>cos$\alpha$/(<i>b</i>+<i>c</i>) <<i>b</i>+<i>c</i>-<i>a</i>< 2<i>bc</i>/<i>a</i>.