Задача
Докажите, что для остроугольного треугольника
$\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$.
Решение
Пусть O — центр описанной окружности, A1,B1,C1 — середины сторон BC,CA,ABсоответственно. Тогда ma=AA1$\leq$AO+OA1=R+OA1. Аналогично mb$\leq$R+OB1и mc$\leq$R+OC1. Следовательно,
$\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ R$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\right)$ + $\displaystyle {\frac{OA_1}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{OB_1}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{OC_1}{h_c}}$.
Остается воспользоваться результатом задачи 12.22и решением
задачи 4.46.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет