Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Найти корни уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Обозначим через<i>S</i>сумму следующего ряда:<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} S=1-1+1-1+1-\ldots \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>S</i> = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (12.1)</td></tr> </table></div><br clear="ALL">Преобразовав равенство (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161543">12.1</a>), можно получить уравнение, из которого находится<i>S</i>:<div align="CENTER"> <i>S</i> = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 -...

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161115">161115</a>, он смог доказать, что  sin <i>x</i>  всегда равен нулю, а  cos <i>x</i>  – единице: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_2.gif">    <img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_3.gif"></div>Где ошибка в приведённых равенствах?

Восстановите алфавит племени Мумбо-Юмбо из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160340">2.6</a>.

Легко проверить равенства<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT">log$\displaystyle \left(\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right.$16 + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$$\displaystyle \left.\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right)$ = log 16 + log$\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$;    </td> <td align="LEFT">log$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right.$$\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - 8$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right)$ = log$\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - log 8.</td> </tr> </table> </div>В каких еще случаях можно выносить логарифм за скобку?

Ученик Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти. Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть<i>n</i>лошадей (с номерами от 1 до<i>n</i>). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до<i>n</i>- 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до<i>n</i>также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до<i>n</i>- 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы — это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все<i>n</i>лошадей должны быть одинаковой масти. Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?

  Пусть <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>:   <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>P_k,l</i>(0) + <i>xP_k,l</i>(1) + ... + <i>x^klP_k,l</i>(<i>kl</i>).   а) Докажите равенства:  <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>x</i>) + <i>x^kf...

Обозначим через <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на не более чем <i>k</i> слагаемых, каждое из которых не превосходит <i>l</i>.

Докажите равенства:

  а)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k,l</i>–1}(<i>n</i>) = <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n – l</i>);

  б)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n</i>) = <i>P</i><sub><i>k,l</i>–1</sub&...

Найдите сумму  <i>S_l</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>_0,<i>l</i>(<i>x</i>) – <i>g</i>_{1,<i>l</i>–1}(<i>x</i>) + <i>g</i>_{2,<i>l</i>–2}(<i>x</i>) – ... + (–1)<i>^lg</i>_<i>l</i>,0(<i>x</i>).

Определение многочленов Гаусса <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.

а) Определение (смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>) функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) не позволяет вычислять их значения при  <i>x</i> = 1.  Но, поскольку функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) являются многочленами, они определены и при  <i>x</i> = 1.  Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61523/problem_61523_img_2.gif"> б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161522">161522</a> подставить значение  <i>x</i> = 1?

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + <i>y</i>² + <i>y</i>³ +...+ <i>y</i>ⁿ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Каков знак<i>n</i>-го члена в разложении произведения<div align="CENTER"> (1 - <i>a</i>)(1 - <i>b</i>)(1 - <i>c</i>)(1 - <i>d</i> )...= 1 - <i>a</i> - <i>b</i> + <i>ab</i> - <i>c</i> + <i>ac</i> + <i>bc</i> - <i>abc</i> - <i>d</i> +... </div>(<i>n</i>= 0, 1, 2,...)?

Определите коэффициент<i>a</i>_nв разложении<div align="CENTER"> (1 + <i>qx</i>)(1 + <i>qx</i>²)(1 + <i>qx</i>⁴)(1 + <i>qx</i>⁸)(1 + <i>qx</i>¹⁶)...= <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x</i>³ +... </div>

Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства:   а)  <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...;   б)  <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1(1 – <i>x</i>⁵)^–1...;   в)  <i>d</i>(<i>n</i>)...

Докажите, что каждое натуральное число <i>n</i> может быть  2^<i>n</i>–1 – 1  различными способами представлено в виде суммы <i>меньших</i> натуральных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.

Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:

<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ...  =  (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x^k</i> + <i>x</i>^2<i>k</i> + ...)...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>²)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1... </div> (По определению сч...

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/61507/problem_61507_img_2.gif"></div>Определения многочленов Чебышева можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#chebysheva">справочнике</a>.

Назовем<i>экспонентой</i>следующий степенной ряд:

Exp(<i>z</i>)=1+<i>z</i>+<i>z</i>²/2!+...+<i>z</i>ⁿ/n!+... Докажите следующие свойства экспоненты: а)Exp$\nolimits{^\prime}$(<i>z</i>) = Exp$\nolimits$(<i>z</i>);    б)Exp$\nolimits$(($\alpha$+$\beta$)<i>z</i>) = Exp$\nolimits$($\alpha$<i>z</i>)^.Exp$\nolimits$($\beta$<i>z</i>).