Олимпиадные задачи по теме «Производящие функции»

<img align="right" src="/storage/problem-media/115364/problem_115364_img_2.gif"> Назовём лестницей высоты <i>n</i> фигуру, состоящую из всех клеток квадрата <i>n</i>×<i>n</i>, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты <i>n</i> на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., <i>n</i>.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Из первых <i>k</i> простых чисел  2, 3, 5, ..., <i>p_k</i>  (<i>k</i> > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·<i>p_k</i>, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через <i>S</i>. Доказать, что  <i>S</i> + 1  разлагается в произведение более 2<i>k</i> простых сомножителей.

Определить коэффициенты, которые будут стоять при <i>x</i>¹⁷ и <i>x</i>¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении <div align="CENTER">(1 + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁷)²⁰. </div>

День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льет дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что 1 января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В 2015 году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе 2015 года?

  Пусть <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>:   <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>P_k,l</i>(0) + <i>xP_k,l</i>(1) + ... + <i>x^klP_k,l</i>(<i>kl</i>).   а) Докажите равенства:  <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>x</i>) + <i>x^kf...

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161519">161519</a> и равенством   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_2.gif">   где

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_3.gif">   – обобщенные биномиальные коэффициенты.

Определение чисел Каталана можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?%20letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Пусть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61519/problem_61519_img_2.gif">   – производящая функция последовательности <i>чисел Каталана</i>. Докажите, что она удовлетворяет равенству <div align="CENTER"><i>C</i>(<i>x</i>) = <i>xC</i>²(<i>x</i>) + 1, </div>и получите явный вид функции<i>C</i>(<i>x</i>). Определение чисел Каталана можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства:   а)  <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...;   б)  <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1(1 – <i>x</i>⁵)^–1...;   в)  <i>d</i>(<i>n</i>)...

Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:

<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ...  =  (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x^k</i> + <i>x</i>^2<i>k</i> + ...)...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>²)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1... </div> (По определению сч...

Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_2.gif">    б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_3.gif">    в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_4.gif">    г)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_5.gif">

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/61507/problem_61507_img_2.gif"></div>Определения многочленов Чебышева можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#chebysheva">справочнике</a>.

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  <i>F</i>(<i>x, z</i>) = <i>F</i>₀(<i>x</i>) + <i>F</i>₁(<i>x</i>)<i>z + F</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <i>F_n</i>(<i>x</i>)<i>zⁿ</i> + ...

и последовательности многочленов Люка   <i>L</i>(<i>x, z</i>) = <i>L</i>₀(<i>x</i>) + <i>L</i>₁(<i>x</i>)<i>z + L</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <...

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">160585</a>)б) Пользуясь этой функцией, выразите <i>L_n</i> через φ и <img width="15" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61504/problem_61504_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161502">161502</a>).

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>F</i>₀ + <i>F</i>₁<i>x</i> + <i>F</i>₂<i>x</i>² + ... + <i>F_nxⁿ</i> + ... может быть записана в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_2.gif">   где  <img width="15" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_3.gif"> = <img width="41" height="41" align="MIDDLE" border="0" s...

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:

  а)  (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i>⁹)³(1 + <i>x</i>^–1 + ... + <i>x</i>^–9)³ = <i>x</i>²⁷ + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i>₁<i>x</i> + ... + <i>x</i>^–27;...

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_3.gif">

Пусть <i>a_n</i> – число решений уравнения  <i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i> = <i>n</i>   в целых неотрицательных числах и <i>F</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>a_n</i>.

  а) Докажите равенства:  <i>F</i>(<i>x</i>) = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)^<i>k</i> = (1 – <i>x</i>)^–<i>k</i>.

  б) Найдите формулу для <i>a_n</i>, пользуясь задачей <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161490">161490</a>.

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника <i>ABCDEF</i>, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.

  а) Сколькими способами она может попасть из <i>A</i> в <i>C</i> за <i>n</i> прыжков?

  б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в <i>D</i>?

<b>Лягушка-сапер</b>.

  в) Пусть путь лягушки начинается в вершине <i>A</i>, а в вершине <i>D</i> находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через <i>n</i> секунд?

  г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?