Задача
Назовемэкспонентойследующий степенной ряд:
Exp(z)=1+z+z2/2!+...+zn/n!+... Докажите следующие свойства экспоненты: а)Exp$\nolimits{^\prime}$(z) = Exp$\nolimits$(z); б)Exp$\nolimits$(($\alpha$+$\beta$)z) = Exp$\nolimits$($\alpha$z) . Exp$\nolimits$($\beta$z).
Решение
Первое равенство непосредственно следует из определения производной формального степенного ряда. Для доказательства второго равенства сравним коэффициенты приznв рядахExp$\nolimits$(($\alpha$+$\beta$)z) иExp$\nolimits$($\alpha$z) . Exp$\nolimits$($\beta$z). В первом случае, это${\dfrac{(\alpha+\beta)^n}{n!}}$, во втором —
$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$$\displaystyle {\dfrac{\alpha^k}{k!}}$ . $\displaystyle {\dfrac{\beta^{n-k}}{(n-k)!}}$ = $\displaystyle {\dfrac{1}{n!}}$$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$Cnk$\displaystyle \alpha^{k}{}$$\displaystyle \beta^{n-k}{}$.
Равенство этих коэффициентов следует из формулы бинома Ньютона
(задача 2.54).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет