Олимпиадные задачи из «Интернет-ресурсы» для 8-9 класса, сложность 4

Задача 216294 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от AC . В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность δ1, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ1, вписана окружность δ2и т.д. (окружность δn вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α ,...

Планиметрия

Задача 216287 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

Планиметрия

Задача 216116 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360o , является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360o .

Планиметрия

Задача 216106 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

Планиметрия

Задача 216090 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).

Планиметрия

Задача 215332 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ). Выбрана точка X на стороне AC . Окружность проходит через точку X , касается стороны AC и пересекает описанную окружность треугольника ABC в таких точках M и N , что прямая MN делит отрезок BX пополам и пересекает стороны AB и BC в точках P и Q . Докажите, что описанная окружность треугольника BPQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC .

Планиметрия

Задача 211668 • Сложность: 4 • 8-9 класс

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники.

Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Планиметрия

Задача 209505 • Сложность: 4 • 8-10 класс

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M – середина стороны AD. Известно, что ∠BMC = 90°.

Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Волчкевич М. А. Планиметрия

Задача 209499 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°. Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 208894 • Сложность: 4 • 8-9 класс

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно. Прямая PQ пересекает стороны AB и CD в точках N и M соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ANP , BNQ , CMP и DMQ пересекаются в одной точке.

Планиметрия

Задача 208658 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Пусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.

Планиметрия

Задача 208248 • Сложность: 4 • 8-10 класс

В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы la, lb, lc и ld внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых la и lb, lb и lc, lc и ld, ld и la обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на <i...

Кожевников П. А. Планиметрия

Задача 208246 • Сложность: 4 • 9-11 класс

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208245 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN,...

Сонкин М. Терешин Д. А. Планиметрия

Задача 208238 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Дан треугольник A0B0C0. На отрезке A0B0отмечены точки A1, A2, ,An , а на отрезке B0C0– точки C1, C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1( i=0,1, n-1), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1( i=0,1, n-1) – тоже. Отрезки C0A...

Сонкин М. Медников Л. Э. Планиметрия

Задача 208233 • Сложность: 4 • 8-9 класс

Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .

Савин А. П. Планиметрия Алгебраические методы

Задача 208226 • Сложность: 4 • 9-10 класс

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что треугольник A1B1C1 подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сто...

Емельянов Л. А. Планиметрия

Задача 208225 • Сложность: 4 • 8-9 класс

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Акопян А. В. Планиметрия

Задача 208223 • Сложность: 4 • 8-11 класс

Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .

Седракян Н. Планиметрия

Задача 208221 • Сложность: 4 • 9-11 класс

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s&...

Емельянова Т. Планиметрия

Задача 208218 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы lA , lB , lC , lD внешних углов этого четырёхугольника. Прямые lA и lB пересекаются в точке K , прямые lB и lC – в точке L , прямые lC и lD – в точке M , прямые lD и lA &...

Емельянов Л. А. Планиметрия

Задача 208208 • Сложность: 4 • 8-9 класс

На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка K, для которой KD = DC, ∠BAC = ½ KDC, ∠DAC = ½ ∠KBC.

Докажите, что ∠KDA = ∠BCA или ∠KDA = ∠KBA.

Берлов С. Л. Планиметрия

Задача 208205 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Каждая из окружностей S1, S2и S3касается внешним образом окружности S (в точках A1, B1и C1соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1, BB1и CC1пересекаются в одной точке.

Терешин Д. А. Планиметрия

Задача 208204 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Пусть a , b и c – стороны треугольника, ma , mb и mc – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center>

<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> 6D.

</center>

Терешин Д. А. Планиметрия

Задача 208196 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D, а прямую AB – в точке M (MB < MA,

MD < MC). Пусть K – отличная от O точка пересечения описанных окружностей треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.

Купцов Л. Планиметрия

Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 8-9 класса - сложность 4 с решениями

Категории

Интернет-ресурсы

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 8-9 класса - сложность 4 с решениями

Категории

Интернет-ресурсы

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления