Геометрическое место точек в олимпиадной задаче Савина А. П. по планиметрии для 8–9 классов
Задача
Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .
Решение
Возможны несколько случаев расположения прямой (см.рис.1-3). Рассмотрим случай, изображённый на рис.1, остальные случаи рассматриваются аналогично.
Пусть N – середина стороны AC . Тогда BN – высота треугольника ABC . Из точек N и D отрезок AB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB . Вписанные в эту окружность углы BDN и BAN опираются на одну и ту же дугу, поэтому
EDN = BDN = BAN = 60o.
DEN = 60o .
Следовательно, треугольник DNE правильный, какова бы ни была
прямая l , не пересекающая отрезок AC . Итак, вершина T одного из рассматриваемых треугольников находится в середине N отрезка AC . Вершина P другого правильного треугольника
симметрична фиксированной точке T (т.е. точке N ) относительно
прямой l , поэтому BP=BN , и точка P лежит на окружности
с центром B и радиусом BN .
Покажем теперь, что любая точка P этой окружности, отличная от N ,
будет вершиной правильного треугольника DEP при некотором выборе
прямой l . Для этого соединим точки P и N и через середину
отрезка NP проведём прямую, перпендикулярную NP . Она пройдёт через
точку B , т.к. серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр
окружности. Основания D и E перпендикуляров, опущенных из точек A и C на построенную прямую l , являются вершинами правильных треугольников DEP и DEN .
Ответ
Окружность с центром в точке B и радиусом, равным высоте треугольника ABC .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь