Олимпиадная задача по планиметрии: угол между диагоналями четырёхугольника

Решение 1:   Пусть O, K, L – середины отрезков BC, AC и BD соответственно, P – точка пересечения прямых AC и BD. Точки K, L различны (иначе ABCD – ромб и

∠BMC < ∠BPC = 90°).  Поскольку углы BKC, BMC и BLC прямые (медианы в равнобедренных треугольниках являются высотами), точки K, M, L лежат на окружности с диаметром BC. Хорда  KM = ½ CD = OC  как средняя линия треугольника ACD, поэтому треугольник KOM равносторонний и  ∠MOK = 60°.  Аналогично  ∠MOL = 60°,  поэтому  ∠KOL = 120°.  Вписанный угол KBL опирается на дугу KL или её дополнение, поэтому равен 60° или 120°. В любом случае это означает, что в прямоугольном треугольнике BKP угол B равен 60°, поэтому  ∠BPK = 30°.

Решение 2:   Треугольники ABC и BCD равнобедренные, поэтому биссектрисы углов ABC и BCD перпендикулярны диагоналям четырёхугольника ABCD. Следовательно, достаточно найти угол между этими биссектрисами.

  Отразим вектор    относительно биссектрисы угла ABC, а потом – относительно биссектрисы угла BCD. При этом он повернётся на удвоенный угол между этими биссектрисами. С другой стороны, он, очевидно, перейдёт в вектор   .   Но угол между векторами    и    равен углу между средними линиями OK и KM треугольников ABC и ACD  ,   которые являются сторонами равностороннего треугольника KOM  (OM = ½ BC = ½ AB = ½ CD).  Значит, угол между    и    равен 60°, а угол между указанными биссектрисами – 30°.

30°.