Олимпиадная задача по планиметрии: точки и окружности в равнобедренном треугольнике ABC

Пусть T — середина отрезка BX , O — центр описанной окружности s треугольника ABC , s1— заданная в условии окружность, касающаяся AC в точке X .

При симметрии относительно точки T вершина B переходит в точку X , окружность s — в окружность, касающуюся AC в точке X , имеющую с s общую хорду и проходящую через точку X , т.е. в окружность s1.

Пусть A1и C1— точки, симметричные относительно T вершинам соответственно A и C , Тогда ABA1X — параллелограмм, поэтому BA1 || AX и A1X || AB . Если Q1— точка пересечения прямых BC и XA1, то треугольники A1Q1B и XQ1C равнобедренные, т.к. они подобны равнобедренному треугольнику ABC . Тогда A1Q1=Q1B и XQ1=Q1C , значит, A1Q1· Q1X = BQ1· Q1C , т.е. точка Q1имеет одинаковые степени относительно окружностей s1и s . Следовательно, точка Q1лежит на общей хорде MN этих окружностей, а т.к. единственная общая точка прямых BC и MN — это точка Q , то точка Q1совпадает с Q . Аналогично, точка пересечения XC1и AB — точка P . Тогда PBQX — параллелограмм, поэтому CQ=QX=BP .

Треугольники OCQ и OBP равны по двум сторонам ( OC=OB как радиусы окружности s , CQ=BP по доказанному) и углу между ними ( OCQ= OCB = OBA = OBP , т.к. треугольники ABC и BOC — равнобедренные). Тогда

OPB + OQB = OPB + (180^o - OQC)= OQC + (180^o- OQC) = 180^o,

значит, четырёхугольник OPBQ — вписанный. Следовательно, описанная окружность треугольника BPQ проходит через точку O . Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует