Олимпиадная задача по планиметрии: выпуклый четырёхугольник и биссектрисы для 9–11 классов

Пусть продолжения сторон BC и AD данного четырёхугольника ABCD пересекаются в некоторой точке P (случай BC || AD разберём отдельно). Для определённости считаем, что точка P лежит на продолжении стороны BC за точку B .

Поскольку K – точка пересечения биссектрис l_A и l_B треугольника APB , то K – центр вписанной окружности этого треугольника. Аналогично, точка M – центр вневписанной окружности треугольника CPD . Значит, точки P , K и M лежат на одной прямой m – прямой, содержащей биссектрису угла CPD .

Пусть прямая m пересекает описанную окружность треугольника ABK в точке K' , отличной от K . Обозначим APB = α . Тогда

AKB = 90^o + , AK'B = 180^o- AKB = 90^o-.

С другой стороны, точка K'' пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A и B треугольника ABP также лежит на прямой m и AK''B = 90^o - . Следовательно, точка K'' совпадает с K'.

Поскольку KBK' = 90^o как угол между биссектрисами смежных углов, то KK' – диаметр описанной окружности треугольника AKB . Значит, центр O1этой окружности также лежит на прямой m . Аналогично докажем, что центр O2описанной окружности треугольника CMD лежит на прямой m.

В случае BC || AD точки K и M , а также O1и O2лежат на прямой m – средней линии трапеции или параллелограмма ABCD.

Пусть описанные окружности треугольников ABK и CDM касаются внешним образом. Их точка касания I лежит на прямой m и поэтому совпадает с K' и с точкой пересечения биссектрис внутренних углов при вершинах C и D данного четырёхугольника.

Таким образом, I – точка пересечения биссектрис всех внутренних углов четырёхугольника ABCD . Значит, в этот четырёхугольник можно вписать окружность, а I – центр этой окружности.

Обратно, если ABCD – описанный четырёхугольник, а I – центр вписанной в него окружности, то AI l_A , BI l_B , CI l_C , DI l_D . Поэтому точка I лежит на описанной окружности треугольника ABK и диаметрально противоположна точке K . В то же время, точка I лежит на описанной окружности треугольника CDM и диаметрально противоположна точке M . Таким образом, I лежит на прямой m и является точкой внешнего касания описанных окружностей этих треугольников.

Итак, утверждение о том, что описанные окружности треугольников AKB и CDM касаются внешним образом, равносильно тому, что четырёхугольник ABCD – описанный. Но то же самое справедливо и для пары окружностей, описанных около треугольников BCL и DAN , откуда следует утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует