Олимпиадная задача по планиметрии: композиция поворотов, сложность 4, 8-9 класс

Пусть A и B — центры данных поворотов R^α_A и R^β _B на углы α и β соответственно. Если A и B совпадают, то утверждение задачи очевидно. Пусть A и B различны. Обозначим через l прямую AB . Через точки A и B проведём прямые a и b соответсвенно, образующие с прямой l углы и . В первом случае считаем угол от a к l ( (a,l) = ), во втором — от l к b ( (l,b) = ). Представим первый поворот в виде композиции симметрий относительно прямых a и l , т.е. R^α_A = S_lo S_a . Аналогично R^β_B = S_bo S_l . Тогда композицию данных поворотов можно записать в виде

R^β _Bo R^α _A = (S_bo S_l)o ( S_lo S_a) = S_bo ( S_lo S_l)o S_a = S_bo S_a.

Известно, что композиция симметрий относительно пересекающихся прямых есть поворот вокруг их точки пересечения на угол, равный удвоенному углу между этими прямыми. Следовательно, если прямые a и b не параллельны, то S_bo S_a есть поворот вокруг точки C пересечения прямых a и b на угол, равный удвоенному углу между прямыми a и b (от a к b), т.е.

2( + ) = α + β.

Поскольку композиция симметрий относительно двух параллельных прямых есть параллельный перенос, то в случае, когда прямые a и b окажутся параллельными (т.е. когда + кратно180^o), искомая композиция есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном a и b , переводящий прямую a в прямую b .

Ответ задачи отсутствует