Олимпиадная задача по планиметрии для 9-11 классов от Купцова Л.: угол MKO

  Пусть O₁ и O₂ центры описанных окружностей треугольников AOC и DOB соответственно, OP и OQ – их диаметры. Тогда O₁O₂ – серединный перпендикуляр к общей хорде OK. Поэтому точка K лежит на отрезке PQ и  OK ⊥ PQ.  Таким образом достаточно доказать, что точка M лежит на прямой PQ.   Поскольку точка A лежит на окружности с диаметром OP, то  AP ⊥ OA,  то есть AP – касательная к данной полуокружности. Аналогично, PC, QB и QD – также касательные к этой полуокружности.

  Пусть F – точка пересечения прямых PC и QD, а E – точка пересечения прямой CD c прямой, проходящей через точку P параллельно QD. Тогда

FC = FD,  QD = QB,  PC = PA,  то есть треугольники DFC, BQD и APC – равнобедренные. Поэтому  ∠QDM = ∠FDC = ∠FCD = ∠PCE,  а так как  PE || QD,  то  ∠PEC = ∠QDM = ∠PCE.  Значит, треугольник CPE – равнобедренный,  PC = PE.  Поэтому  PA = PC = PE,  то есть треугольник APЕ – также равнобедренный.

  В равнобедренных треугольниках BQD и APE   PE || QD  и  AP || BQ.  Значит,  ∠PAE = ∠QBD.

  При гомотетии с центром в точке M и коэффициентом  ^MA/_MB  точка B перейдёт в точку A, точка D – в точку E, луч BQ – в луч AP, луч DQ – в луч EP, а значит, точка Q – в точку P. Следовательно, прямая PQ проходит через центр гомотетии – точку M, что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует