Олимпиадные задачи по математике

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Даны полуокружность с диаметром <i>AB</i> и центром <i>O</i> и прямая, пересекающая полуокружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, а прямую <i>AB</i> – в точке <i>M</i>  (<i>MB < MA,

MD < MC</i>).  Пусть <i>K</i> – отличная от <i>O</i> точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AOC</i> и <i>DOB</i>. Докажите, что угол <i>MKO</i> – прямой.

На плоскости расположены три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃ радиусов <i>r</i>₁, <i>r</i>₂, <i>r</i>₃ соответственно – каждая вне двух других, причём  <i>r</i>₁ > <i>r</i>₂  и   <i>r</i>₁ > <i>r</i>₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₂ проведены касательные к окружности Ω₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω<sub>3</sub...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники <i>ADB</i>, <i>BEC</i> и <i>CFA</i> <!-- MATH $(\frac{AD}{DB} = \frac{BE}{EC} = \frac{CF}{FA} = k$ --> (${\frac{AD}{DB}}$ = ${\frac{BE}{EC}}$ = ${\frac{CF}{FA}}$ = <i>k</i>; <!-- MATH $\angle ADB = \angle BEC = \angle CFA = \alpha)$ --> $\angle$<i>ADB</i> = $\angle$<i>BEC</i> = $\angle$<i>CFA</i> = $\alpha$). Докажите, что:

1. середины отрезков <i>AC</i>, <i>DC</i>, <i>BC</i> и <i>EF</i> — вершины параллелограмма;

2. у этого параллелограмма два угла равны $\alpha$, а отношение сторон равно <i>k</i>.

Два треугольника <!-- MATH $A_{1}B_{1}C_{1}$ --> <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <!-- MATH $A_{2}B_{2}C_{2}$ --> <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, площади которых равны соответственно <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂, расположены так, что лучи <!-- MATH $A_{1}B_{1}$ --> <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <!-- MATH $A_{2}B_{2}, B_{1}C_{1}$ --> <i>A</i>₂<i>B</i>₂, <i>B&l...

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники <i>APB</i> и <i>BQC</i> с одинаковыми углами величины φ при их общей вершине <i>B</i>. Найдите углы треугольника <i>PQK</i>, где <i>K</i> – середина стороны <i>AC</i>.

Дан правильный треугольник <i>ABC</i>. Некоторая прямая, параллельная прямой <i>AC</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. Точка <i>D</i> — центр правильного треугольника <i>PMB</i>, точка <i>E</i> — середина отрезка <i>AP</i>. Найдите углы треугольника <i>DEC</i>.