Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов автора Акопяна А.В.
Задача
В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.
Решение
Пусть, для определённости, точка D лежит на дуге BC, не
содержащей точку A. Обозначим через H – точку пересечения высот треугольника ABC, а через HA и HB – вторые точки пересечения прямых AH и BH с окружностью (см. рис.).
Поскольку точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности (см. задачу 155463), то HA' = A'HA и HB' = B'HB. Прямоугольный треугольник HAA'B равен треугольнику HA'B, а треугольник HA'B подобен треугольнику HB'A, значит, треугольники HAA'B и HB'A подобны.
Из равенств ∠B'AQ = ∠CAD = ∠CBD = ∠A'BP следует, что отрезки AQ и BP являются соответствующими в подобных треугольниках HB'A и HAA'B, поэтому B'Q : B'H = A'P : A'HA. . Пусть прямая, проходящая через точку Q параллельно A'B', пересекает прямую AA' в точке S. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
A'S : A'H = B'Q : B'H = A'P : A'HA = A'P : A'H.
Значит, A'S = A'P, то есть A' – середина SP, а так как A'B' || QS, то прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь