Олимпиадная задача по планиметрии: Теорема Фейербаха и окружности треугольника

Пусть A1, B1и C1— середины сторон BC=a , AC=b и AB=c треугольника ABC , S — вписанная окружность треугольника ABC , касающаяся стороны BC в точке P , S_a — вневписанная окружность, касающаяся стороны BC в точке Q , p — полупериметр треугольника ABC . Если b=c , то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда b c . Тогда

CP = p-AB = p-c, A1P=|CP-CA1|= |p-c-|= .

При симметрии относительно биссектрисы угла BAC вершина B переходит в точку B' луча AC , вершина C — в точку C' луча AB , а окружности S и S_a переходят сами в себя. Значит, прямая B'C' — вторая общая внутренняя касательная окружностей S и S_a . При этом, т.к. треугольник ACC' равнобедренный, биссектриса угла BAC пересекает его основание CC' в середине K , точки B1, A1и K лежат на одной прямой — средней линии треугольника ACC' , а

A1K = BC' =|AC'-AB| = |AC-AB|=|b-c|=A1P.

Аналогично, A1K=A1Q , поэтому A1Q=A1P . Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону BC в точке F , а прямые A1B1и A1C1пересекают прямую B'C' в точках D и E соответственно. Треугольник A1FD подобен треугольнику BFC' с коэффициентом , а треугольник A1FK подобен треугольнику BFA с тем же коэффициентом, поэтому

==,

откуда находим, что

A1D· A1B1=A1K2=A1P2.

Аналогично, A1E· A1C1=A1P2. Следовательно, при инверсии с центром A1и радиусом A1P точки B1и C1перейдут в точки D и E , описанная окружность треугольника A1B1C1, проходящая через центр инверсии, перейдёт в прямую DE , т.е. в прямую B'C' . Осталось заметить, что при рассматриваемой инверсии окружности S и S_a , не проходящие через центр инверсии, переходят сами в себя. Действительно, если X' — образ точки X , лежащей на окружности S , то A1X'· A1X=A1P2, значит, точка X' также лежит на окружности S . Аналогично для окружности S_a ( A1Q=A1P ). Если ещё раз применить рассматриваемую инверсию, то прямая B'C' перейдёт в описанную окружность треугольника ABC , окружности S и S_a — сами в себя, а т.к. прямая B'C' — общая касательная к окружностям S и S_a , то её образ также касается окружностей S и S_a . Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует