Олимпиадные задачи из источника «1992-1993» для 6-8 класса
1992-1993
НазадНа доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или<i> - </i>, второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?
Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой <i>l</i> так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная <i>l</i>, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой <i>l</i> так, чтобы другие их катеты лежали на прямой <i>l</i>, то также найдётся прямая, параллельная <i> l </i>, пересекающая их по равным отрезкам.
Докажите, что уравнение <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 4(<i>x</i>²<i>y + xy</i>² + 1) не имеет решений в целых числах.
В колоде<i> n </i>карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные – рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.
Докажите, что для любых действительных чисел <i>a</i> и <i>b</i> справедливо неравенство <i>a</i>² + <i>ab + b</i>² ≥ 3(<i>a + b</i> – 1).
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.). <center> <img src="/storage/problem-media/109542/problem_109542_img_2.gif"> </center>На клетке, помеченной звездочкой, стоит<i>кентавр</i>– фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109540/problem_109540_img_2.gif">
Решите в положительных числах систему уравнений <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">
В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.
Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)
Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
На доске написано <i>n</i> выражений вида *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0 (<i>n</i> – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3<i>n</i> ходов получится <i>n</i> квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>2</sub> </i>,<i> D<sub>1</sub> </i>и<i> D<sub>2</sub> </i>960. Докажите, что если<i> A<sub>1</sub>B<sub>2</sub>=B<sub>1</sub>C<sub>2</sub>=C<sub>1</sub>D<sub>2</sub>=D<sub>1</sub>A<sub>2</sub> </i>, то четырехугольник, образованный прямыми<i> A<sub>1</sub...
Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>. Докажите, что число <i>x + y + z</i> делится на 27.
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.
Натуральное число <i>n</i> таково, что числа 2<i>n</i> + 1 и 3<i>n</i> + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5<i>n</i> + 3 быть простым?
Назовем усреднением последовательности<i>a<sub>k</sub> </i>действительных чисел последовательность<i>a'<sub>k</sub> </i>с общим членом<i> a'<sub>k</sub>=<img src="/storage/problem-media/109520/problem_109520_img_2.gif"> </i>. Рассмотрим последовательности:<i>a<sub>k</sub> </i>,<i>a'<sub>k</sub> </i>– ее усреднение,<i>a''<sub>k</sub> </i>– усреднение последовательности<i>a'<sub>k</sub> </i>, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность<i>a<sub>k</sub> </i>– хорошая. Докажите, что если последователь...
Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на <i>n</i>² клеток со стороной 1. При каком наибольшем <i>n</i> можно отметить <i>n</i> клеток так, чтобы каждый прямоугольник площади не менее <i>n</i> со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?
Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?
Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.