Олимпиадные задачи по математике
В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.
Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?
В правильном (6<i>n</i>+1)-угольнике <i>K</i> вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Назовем усреднением последовательности<i>a<sub>k</sub> </i>действительных чисел последовательность<i>a'<sub>k</sub> </i>с общим членом<i> a'<sub>k</sub>=<img src="/storage/problem-media/109520/problem_109520_img_2.gif"> </i>. Рассмотрим последовательности:<i>a<sub>k</sub> </i>,<i>a'<sub>k</sub> </i>– ее усреднение,<i>a''<sub>k</sub> </i>– усреднение последовательности<i>a'<sub>k</sub> </i>, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность<i>a<sub>k</sub> </i>– хорошая. Докажите, что если последователь...