Олимпиадная задача по математике: наибольшее число без кратных 11 (7-9 класс)

  Если в десятичной записи числа есть цифра 0 или две одинаковые цифры, то, вычеркнув остальные цифры, мы получим число, кратное 11. Значит, искомое число не более чем девятизначное, и все его цифры различны. Наибольшее из таких чисел – 987654321. Докажем, что оно удовлетворяет условию задачи.

  После вычеркивания цифр из числа 987654321 получится число вида  a_k...a₂a₁,  в котором  a_k > ... > a₂ > a₁.  Вычитая из него кратное 11 число  a₁a₁  и стирая нули в конце, получим число такого же вида. Продолжая, в конце концов получим однозначное число, которое не кратно 11. Значит, и исходное число не делилось на 11.