Олимпиадная задача по теории чисел: делимость суммы x+y+z на 27 (Агаханов Н. Х.)
Задача
Целые числа x, y и z таковы, что (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z. Докажите, что число x + y + z делится на 27.
Решение
Если числа x, y и z дают различные остатки при делении на 3, то число (x – y)(y – z)(z – x) не делится на 3, а число x + y + z, наоборот, делится на 3. Следовательно, по крайней мере, два из трёх чисел x, y, z дают одинаковые остатки при делении на 3. Но тогда число x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x) делится на 3, а для этого необходимо, чтобы и третье число давало тот же остаток при делении на 3, что и первые два числа.
Итак, числа x, y, z дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, число x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x) делится на 27.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь