Олимпиадная задача по математике про турнир по теннису: условия для участников

  Пусть описанный в задаче турнир проведён. Тогда все противники одного теннисиста разбиваются на пары, поэтому n нечётно. Все возможные пары противников разбиваются на четвёрки пар, игравших в одном матче. Следовательно, число  ½ n(n – 1)  этих пар кратно 4, откуда  n – 1 = 8k.

  Докажем, что при любом натуральном k указанный турнир для  n = 8k + 1  участников возможен. При  k = 1  для описания турнира поставим в соответствие теннисистам вершины правильного девятиугольника A₁A₂...A₉. На рисунке изображён матч пары  (A₁, A₂)  против пары  (A₃, A₅),  причём отрезками соединены противники.

  Поворачивая эту конструкцию из отрезков вокруг центра на углы, кратные^2π/₉, мы получим изображения для остальных восьми матчей. При этом каждая хорда видаA_iA_jиспользуется ровно один раз, поскольку она равна в точности одной из хорд  A₂A₃,A₁A₃,A₂A₅иA₁A₅.   При  k> 1  выделим одного из  8k+ 1  теннисистов, а остальных разобьём наkгрупп по 8 человек. Присоединяя выделенного теннисиста последовательно к каждой группе, проведём в них турниры по описанной выше схеме для 9 человек. Тогда останется только провести матчи между противниками из разных групп. Для этого достаточно разбить каждую группу на четыре команды по два человека и провести все возможные матчи между командами из разных групп.

n = 8k + 1,  где  k ∈ N.