Олимпиадные задачи по математике

Функция<i> f</i>(<i>x</i>)определена и удовлетворяет соотношению <center>(<i>x-</i>1)<i>f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_2.gif"></i>)<i>-f</i>(<i>x</i>)<i>=x

</i></center> при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_3.gif"></i>1. Найдите все такие функции.

Окружности<i> S₁ </i>и<i> S₂ </i>касаются внешним образом в точке<i> F </i>. Прямая<i> l </i>касается<i> S₁ </i>и<i> S₂ </i>в точках<i> A </i>и<i> B </i>соответственно. Прямая, параллельная прямой<i> l </i>, касается<i> S₂ </i>в точке<i> C </i>и пересекает<i> S₁ </i>в двух точках. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> F </i>и<i> C </i>лежат на одной прямой.

Две окружности<i>S</i>₁и<i>S</i>₂касаются внешним образом в точке<i>F</i>. Их общая касательная касается<i>S</i>₁и<i>S</i>₂в точках<i>A</i>и<i>B</i>соответственно. Прямая, параллельная<i>AB</i>, касается окружности<i>S</i>₂в точке<i>C</i>и пересекает окружность<i>S</i>₁в точках<i>D</i>и<i>E</i>. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников<i>ABC</i>и<i>BDE</i>, проходит через точку<i>F</i>.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 4(<i>x</i>²<i>y + xy</i>² + 1)  не имеет решений в целых числах.

На правой чаше чашечных весов лежит груз массой 11111 г. Весовщик последовательно раскладывает по чашам гири, первая из которых имеет массу 1 г, а каждая последующая вдвое тяжелее предыдущей. В какой-то момент весы оказались в равновесии. На какую чашу поставлена гиря 16 г?

Одновременно из деревень A и Б навстречу друг другу вышли Аня и Боря (их скорости постоянны, но не обязательно одинаковы). Если бы Аня вышла на 30 минут раньше, то они встретились бы на 2 км ближе к деревне Б. Если бы Боря вышел на 30 минут раньше, то встреча состоялась бы ближе к деревне A. На сколько?