Олимпиадная задача о хороших последовательностях и их квадратах — последовательности, индукция, 8-10 класс
Задача
Назовем усреднением последовательностиak действительных чисел последовательностьa'k с общим членом a'k=
.
Рассмотрим последовательности:ak ,a'k – ее усреднение,a''k –
усреднение последовательностиa'k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых
чисел, то будем говорить, что последовательностьak – хорошая. Докажите, что если
последовательностьxk – хорошая, то последовательностьxk2 – тоже хорошая.
Решение
Назовем последовательность m -хорошей, если если она сама и первые ее m усреднений
состоят из целых чисел. Докажем, пользуясь методом математической индукции, что если
последовательностьxk – хорошая, то последовательностьxk2 – m -хорошая для
любого целого неотрицательного числа m . Из этого и вытекает утверждение задачи. Очевидно, что
если последовательностьxk – хорошая, то последовательностьxk2 – 0-хорошая.
Предположим, что последовательностьxk2 – m -хорошая, и докажем, что она(m+1)-хорошая. Это следует из тождества 
=(
)2+
(-xk+1)2 ,
так как последовательности с общими членами и -xk+1– хорошие, а поэтому, согласно индуктивному предположению, их квадраты – m -хорошие
последовательности, т.е. последовательностьxk2 –(m+1)-хорошая.
#te
Нетривиальный пример хорошей последовательности дает арифметическая прогрессия с четной
разностью, состоящая из целых чисел, например: 1, 3, 5, 7,
#te Изменим определение усреднения последовательности на более общее: a'k=
, p
. Известно доказательство аналогичного
утверждения (еслиxk – хорошая, то иxkp – хорошая) при p=3. Интересно было бы
выяснить, при каких p оно справедливо. Гипотеза: только при простых p .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь