Олимпиадная задача Калинина А. по многочленам и делимости для 8–10 классов

Решение 1:Перепишем уравнение в виде  (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как куб целого числа не может давать остаток 4 при делении на 7, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Решение 2:Очевидно, x и y одной чётности. Если они чётны, то левая часть делится на 8, а правая – нет. Следовательно, x и y нечётны. Так как квадрат нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 8, то  x³ + y³ ≡ x + y ≡ xy² + x²y (mod 8),  и из уравнения получаем  3(x + y) ≡ 4 (mod 8).  Значит,  x + y  делится на 4. С другой стороны,  (x + y)(x² – 5xy + y²) = 4,  значит,  x + y = ±4.  Подставляя это значение в выражение  x² – 5xy + y² = (x + y)² – 7xy,  получаем уравнения  16 – 7xy = ±1,  не имеющие решений в целых числах.

Ответ задачи отсутствует