Олимпиадные задачи из «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 10 класса, сложность 1-5

Задача 164478 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет

а) 2012,

б) 2013 плоскостей симметрии?

в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

Френкин Б. Р. Стереометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164477 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.

Докажите, что они пересекаются.

Заславский А. А. Планиметрия Стереометрия

Задача 164476 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN</i&g...

Ясинский В. Планиметрия Стереометрия Проективная геометрия

Задача 164475 • Сложность: 3 • 10-11 класс

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C1. Точки A1, B1 на лучах BC и AC таковы, что ∠AC1B1 = ∠BC1A1 = ∠ACB. Прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке C2. Докажите, что все прямые C1C2 п...

Ясинский В. Планиметрия

Задача 164474 • Сложность: 4 • 10-11 класс

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B0 и C0 соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC0 и QB0 пересекаются на прямой BC.б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O1 и O<s...

Прокопенко Д. Планиметрия

Задача 164473 • Сложность: 4 • 9-11 класс

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки M и N являются проекциями вершин B и C на AD. Окружность с диаметром MN пересекает BC в точках X и Y. Докажите, что ∠BAX = ∠CAY.

Иванов А. Планиметрия

Задача 164472 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 164471 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках A', B', C' соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра I этой окружности на медиану CM, пересекает прямую A'B' в точке K. Докажите, что CK || AB.

Ивлев Ф. Планиметрия

Задача 164470 • Сложность: 3 • 9-11 класс

а) В треугольник ABC вписаны треугольники A1B1C1 и A2B2C2 так, что C1A1 ⊥ BC, A1B1 ⊥ CA, B1C1 ⊥ AB, B2A2 ⊥ BC, &...

Кожевников П. А. Расторгуев В. Планиметрия

Задача 164469 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Точки M, N – середины диагоналей AC, BD прямоугольной трапеции ABCD (∠A = ∠D = 90°). Описанные окружности треугольников ABN, CDM пересекают прямую BC в точках Q, R. Докажите, что точки Q, R равноудалены от середины отрезка MN.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164468 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Пусть A1 и C1 – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AB соответственно, а A' и C' – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B, с продолжениями сторон BC и AB соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на A1C1 тогда и только тогда, когда прямые A'C1 и BA перпендикулярны.

Ивлев Ф. Планиметрия

Задача 164467 • Сложность: 3 • 8-11 класс

На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис. а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы. б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

Френкин Б. Р. Планиметрия

Задача 164466 • Сложность: 2 • 8-10 класс

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что r4 > 2r3? б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 – взятые в...

Кожевников П. А. Планиметрия

Задача 164465 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C1, B1; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C2, A2. Докажите, что прямые B1C1, A2C2 и CC&#...

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164464 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Пусть T1, T2 – точки касания вневписанных окружностей треугольника ABC со сторонами BC и AC соответственно. Оказалось, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника относительно середины AB, лежит на описанной окружности треугольника CT1T2. Найдите угол BCA.

Плотников М. Планиметрия

Задача 164463 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Вокруг треугольника ABC описана окружность. Пусть X – точка внутри окружности, K и L – точки пересечения этой окружности и прямых BX и CX соответственно. Прямая LK пересекает прямую AB в точке E, а прямую AC в точке F. Найдите геометрическое место таких точек X, что описанные окружности треугольников AFK и AEL касаются.

Плотников М. Планиметрия Алгебраические методы

Задача 164462 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Пусть BD – биссектриса треугольника ABC. Точки Ia, Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABD, CBD. Прямая IaIc пересекает прямую AC в точке Q. Докажите, что ∠DBQ = 90°.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164461 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Диагонали AC, BD трапеции ABCD пересекаются в точке P. Описанные окружности треугольников ABP, CDP пересекают прямую AD в точках X, Y. Точка M – середина XY. Докажите, что BM = CM.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164400 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.

Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Протасов В. Ю. Текстовые задачи Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164399 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

Карлюченко А. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 164398 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой I<sub&g...

Швецов Д. В. Зайцева Ю. Соколов А. Планиметрия

Задача 164397 • Сложность: 3 • 8-10 класс

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что BK : CK = FS : ES.

Ясинский В. Планиметрия

Задача 164396 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

Белухов Н. Планиметрия

Задача 164395 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.

Докажите, что SAOB + SCOD ≤ 2(SAOD + SBOC).

Богданов И. И. Планиметрия

Задача 164394 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω1 и ω2 по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O1O2.

Нилов Ф. Планиметрия

Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 10 класса - сложность 1-5 с решениями

Категории

IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 10 класса - сложность 1-5 с решениями

Категории

IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления