Задача
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C1, B1; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C2, A2. Докажите, что прямые B1C1, A2C2 и CC' пересекаются в одной точке.
Решение
Вписанные окружности треугольников ACC’ и BCC’ касаются стороны CC’ в одной и той же точке (см. задачу 153039). Поэтому CB1 = CA2. Кроме того, AB1 = AC1, BA2 = BC2. Значит,
∠B1C1C2 = ∠A + ∠AB1C1 = 90° + ½ ∠A, ∠B1A2C2 = 180° – ∠B1A2C – ∠BA2C2 = 180° – (90° – ½ ∠C) – (90° – ½ ∠B) = ½ (∠B + ∠C). Сумма этих углов равна 180°, то есть четырёхугольник A2B1C1C2 – вписанный. Следовательно, прямые B1C1, A2C2 и CC’ пересекаются в радикальном центре трёх окружностей: описанной окружности четырёхугольника A2B1C1C2 и вписанных окружностей треугольников ACC’, BCC’ (см. рис.).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь