Поскольку все основания высот и биссектрис по условию различны, треугольник неравнобедренный. На любой стороне треугольника основание высоты лежит ближе к меньшей из прилежащих сторон, чем основание биссектрисы, и поэтому достаточно определить, какая сторона треугольника наибольшая, наименьшая и средняя. Основания биссектрисы и высоты, проведённых из некоторой вершины X, будем обозначать L_X и H_X соответственно.   Лемма. Если  AC > BC,  то прямые L_BL_A и H_BH_A пересекают продолжение стороны AB за вершину B.

  Доказательство. Пусть L_BD – перпендикуляр, опущенный на AB, а CH – высота. По свойству биссектрисы     Аналогично если L_AE – перпендикуляр, опущенный на AB, то     Так как  AC > BC,  то  L_BD > L_AE,  поэтому L_BL_A пересекает AB за вершиной B.

  Точки H_B, H_A лежат на полуокружности с диаметром AB. Если бы углы H_AAB и H_BBA были равны, то перпендикуляры из H_A и H_B на AB также были бы равны. Но первый из углов меньше, поэтому и соответствующий перпендикуляр меньше.   а) Соединим отмеченные точки с противолежащими вершинами. Получим два семейства конкуррентных прямых. На двух сторонах треугольника возьмём точки, принадлежащие одному и тому же семейству, и проведём через них прямую. Согласно лемме она пересекает продолжение третьей стороны за меньшей из двух выбранных сторон – независимо от того, какому семейству соответствуют выбранные точки. Отсюда и определяется, какая сторона треугольника самая короткая, а какая – самая длинная.   б) Для каждой вершины треугольника выберем на прилежащих сторонах ближайшие отмеченные точки и соединим их прямой. Как будет показано ниже, эти прямые пересекут продолжение наибольшей стороны треугольника за вершину среднего угла и продолжения остальных двух сторон за вершину наибольшего угла. Отсюда определяется, какая сторона треугольника самая короткая, а какая – самая длинная.

  Докажем утверждение, выделенное курсивом. Пусть  AB > AC > BC.  Отмеченные точки, ближайшие (по сторонам) к вершине наименьшего угла, – основания биссектрис, а ближайшие к вершине наибольшего угла – основания высот. Согласно лемме соединяющие их прямые пересекают соответственно продолжение стороны BC за точку C и продолжение AB за точку B. Отмеченные точки, ближайшие по сторонам к вершине среднего угла B, – это H_C и L_A. Согласно лемме прямая L_CL_A пересекает продолжение AC за точку C в некоторой точке P. Луч H_CL_A направлен внутрь треугольника H_CCP и потому пересекает отрезок CP, что и требуется.

Ответ задачи отсутствует