Задача
Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω1 и ω2 по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O1O2.
Решение
По условию прямая AB проходит через середину M отрезка CD (см. рис.). Пусть прямая CD вторично пересекает ω1 и ω2 в точках P и Q соответственно. По теореме о секущих MC·MP = MB·MA = MD·MQ = MC·MQ. Отсюда MP = MQ и PC = DQ. Пусть K и N – середины отрезков PC и DQ соответственно. Тогда M – середина KN. Средняя линия прямоугольной трапеции O1KNO2 является серединным перпендикуляром к отрезку CD. Следовательно, точки C и D равноудалены от середины отрезка O1O2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь