Задача
а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что r4 > 2r3? б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4 – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABE, BCE, CDE, DAE. Может ли оказаться, что r2 > 2r1?
Решение
а) Пусть для определенности r4 = rABC. Середина K диагонали AC лежит в одном из треугольников ABD, CBD, скажем, в треугольнике ABD. Тогда треугольник AKL, где L – середина AB, целиком содержится в треугольнике ABD, поэтому rABC = 2rAKL < 2rABD ≤ 2r3. б) Пусть r = r1 – радиус вписанной окружности треугольника ABE. Так как диаметры вписанных окружностей треугольников BCE, ADE меньше высот этих треугольников, совпадающих с высотами ha, hb треугольника ABE, достаточно доказать, что одна из этих высот не превосходит 4r. Пусть AE ≥ BE. Тогда полупериметр треугольника p < AE + BE ≤ 2AE и 
Ответ
а), б) Не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь