Олимпиадные задачи из источника «I Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2005 г.)» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?

Пусть <i>O</i> – центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Из произвольной точки <i>P</i> плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через <i>M</i> точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>PO</i>.

При каком наименьшем n существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?

На плоскости дан угол и точка <i>К</i> внутри него. Доказать, что найдётся точка <i>М</i>, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через <i>К</i>, пересекает стороны угла в точках <i>А</i> и <i>В</i>, то <i>МК</i> является биссектрисой угла <i>АМВ</i>.

Внутри вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> существует точка <i>K</i>, расстояния от которой до сторон <i>ABCD</i> пропорциональны этим сторонам.

Доказать, что <i>K</i> – точка пересечения диагоналей <i>ABCD</i>.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>. Прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>O</i>, причём <i>B</i> лежит на отрезке <i>O</i> и <i>A</i> на отрезке <i>OD. I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>OAB, J</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>OCD</i>, касающейся стороны <i>CD</i> и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка <i>IJ</i> на прямые <i>BC</i> и <i>AD</i>, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Доказать, что отрезок <i>XY</i> делит периметр четыр...

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон правильного треугольника <i>ABC</i>. Три параллельные прямые, проходящие через <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, пересекают, соответственно, прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>C</i>₁<i>A</i>₁, <i>A</i>₁<i>B</i>₁ в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i...

Пусть <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC, X</i> – произвольная точка. Окружность с диаметром <i>XH</i> вторично пересекает прямые <i>AH, BH, CH</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, а прямые <i>AX, BX, CX</i> в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Доказать, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i> C</i>₁<i>C</i&...

На плоскости даны два отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, причём  ^{<i>A</i>₂<i>B</i>₂}/_{<i>A</i>₁<i>B</i>₁} = <i>k</i> < 1.  На отрезке <i>A</i>₁<i>A</i>₂ взята точка <i>A</i>₃, а на продолжении этого отрезка за точку <i>А</i>₂ – точка <i>А</i>₄ так, что  <sup><i&gt...

В окружности с центром <i>O</i> проведены две параллельные хорды <i>AB</i> и <i>CD</i>. Окружности с диаметрами <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Доказать, что середина отрезка <i>OP</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.

Пусть <i>P</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника <i>ABCD, M</i> – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, <i>O</i> – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, <i>H</i> – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников <i>APD</i> и <i>BPC, APB</i> и <i>CPD</i>. Доказать, что <i>M</i> – середина <i>OH</i>.

К граням тетраэдра восстановлены перпендикуляры в их точках пересечения медиан.

Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.

Планета "Тетраинкогнито", покрытая "океаном", имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км.

Какую площадь океана накроет "цунами" через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в

  а) центре грани,

  б) середине ребра,

если скорость распространения цунами 300 км/час?

Пусть <i>I</i> – центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD, A', B', C', D'</i> – центры описанных сфер тетраэдров <i>IBCD, ICDA, IDBA, IABC</i> соответственно.

Докажите, что описанная сфера тетраэдра <i>ABCD</i> целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра <i>A'B'C'D'</i>.

  Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна – это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Она может перемещаться прыжками через Луну и Землю: из старого места (точки <i>А</i>) она моментально появляется в новом (в точке <i>A'</i>) так, что в середине отрезка <i>АA'</i> находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.

  а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.

  б) Докажите, что летающая тарелка, используя неогра...

  На плоскости даны три прямые <i>l</i>₁, <i>l</i>₂, <i>l</i>₃, образующие треугольник, и отмечена точка <i>O</i> – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки <i>X</i> плоскости обозначим через <i>X_i</i> точку, симметричную точке <i>X</i> относительно прямой <i>l_i</i>,  <i>i</i> = 1, 2, 3.

  а) Докажите, что для произвольной точки <i>M</i> прямые, соединяющие середины отрезков <i>O</i>₁<i>O</i>₂ и <i>M</i>₁<i>M</i>...

В треугольник <i>АВС</i> вписана окружность и отмечен её центр <i>I</i> и точки касания <i>P, Q, R</i> со сторонами <i>ВС, СА, АВ</i> соответственно. Одной линейкой постройте точку <i>К</i>, в которой окружность, проходящая через вершины <i>В</i> и <i>С</i>, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Дана окружность с центром в начале координат.

Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.

Пусть <i>Р</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>АВС</i>. Обозначим через <i>А</i>₁, <i>В</i>₁ и <i>С</i>₁ точки пересечения прямых <i>АР, ВР</i> и <i>СР</i> соответственно со сторонами <i>ВС, СА</i> и <i>АВ</i>. Упорядочим площади треугольников <i>АВ</i>₁<i>С</i>₁, <i>А</i>₁<i>ВС</i>₁, <i>А</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>, обозначив меньшую через <i>S</i>₁, средн...

Дан треугольник <i>АВС</i> и две прямые <i>l</i>₁, <i>l</i>₂. Через произвольную точку <i>D</i> на стороне <i>АВ</i> проводится прямая, параллельная <i>l</i>₁, пересекающая <i>АС</i> в точке <i>Е</i>, и прямая, параллельная <i>l</i>₂, пересекающая <i>ВС</i> в точке <i>F</i>. Построить точку <i>D</i>, для которой отрезок <i>EF</i> имеет наименьшую длину.

Квадрат разрезали на <i>n</i> прямоугольников размером  <i>a_i</i>×<i>b_i</i>,  <i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>.

При каком наименьшем <i>n</i> в наборе  {<i>a</i>₁, <i>b</i>₁, ..., <i>a_n, b_n</i>}  все числа могут оказаться различными?

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.

Дан треугольник <i>ABC</i>, все углы которого меньше φ, где  φ < ^2π/₃.

Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника <i>ABC</i> видны под углом φ.