Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: точки и выпуклый четырёхугольник (Емельянов Л.А.)

Задача 203930 • Сложность: 3 • 9-10 класс
Задача

Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.

Авторы:
Емельянов Л. А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
I Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2005 г.) 10 класс Олимпиады и турниры Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
Количество версий:
5
Решение

  Первый способ. Пусть вершина D' параллелограмма ABCD' лежит внутри четырёхугольника ABCD. Тогда  ∠BCA < ∠CAD  и  ∠BAC < ∠ACD.  Следовательно, точки пересечения противоположных сторон четырёхугольника ABCD лежат на продолжении отрезков AB и BC за точку B. Очевидно, что вершина с таким свойством в четырёхугольнике ровно одна (рис. слева).

           
  Второй способ. Пусть ABCD – исходный четырёхугольник, ABCD' – параллелограмм, лежащий в нем. Пусть лучи CD' и AD' пересекают стороны в точках C1 и A1. Тогда  SABC = SABD' = SABC1 < SABD,  аналогично  SABC < SACD.  Значит,   SABC < SABD + SACD – SABC = SBCD,  то есть ABC – треугольник наименьшей площади, образованный тремя вершинами четырёхугольника. Наоборот, если он таковой, то на сторонах найдутся такие точки A1 и C1, что  SABC = SABC1 = SA1BC,  и точка пересечения AA1 и CC1 будет искомой (рис. справа).
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет