Не ограничивая общности, будем считать, что площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С соответственно равны S₁, S₂ и S₃.   Первый способ. Расположим в вершинах A, B и C такие массы a, b и c, что точка Р – центр тяжести полученной системы материальных точек. Можно считать, что  a + b + c = 1.  Обозначим через А₂ точку пересечения В₁С₁ и АА₁. Поскольку треугольники АВ₁С₁ и А₁В₁С₁ имеют общее основание,  то  S₁ : S = AA₂ : A₂A₁.

  Если мы в точкуАвместо массыaпоместим массу 2a, тоА₂будет центром масс новой системы материальных точек (центр масс системы 2aAи (b + c)A₁  расположен на прямойАА₁, а системы  (a + b)C₁  и  (a + c)B₁  – на прямойВ₁С₁). Отсюда  ^AA₂/_A1A2=^b+c/_2a=^1–a/_2a.   Аналогично  ^S₂/_S=^a+c/_2b=^1–b/_2b  и  ^S₃/_S=^1–c/_2c.  Поскольку  S₁≤S₂≤S₃,  отсюда следует, что  ¹/_2a≤¹/_2b≤¹/_2c  или  a ≥ b ≥ c.   Значит,  (b + c)(a + c) ≤ 2b·2a= 4ab,  то есть  S₁S₂≤S².  Точно так же доказывается, что  S² ≤S₂S₃.   Второй способ. Теорема Мёбиуса. Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А₁, В₁ и С₁ точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА, АВ, а площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С и А₁В₁С₁ равны S₁, S₂, S₃ и S соответственно. Тогда  S³ + (S₁ + S₂ + S₃)S² – 4S₁S₂S₃ = 0.

  (Это несложно доказать, используя найденные в первом способе отношения площадей.)   Рассмотрим функцию  Ф(x) = x³ + (S₁ + S₂ + S₃)x² – 4S₁S₂S₃.  По теореме Мёбиуса  Ф(S) = 0.  Кроме того, Ф(x) возрастает на  (0, +∞).  Поэтому достаточно показать, что     при условии  S₁ ≤ S₂ ≤ S₃.

  Действительно,     поскольку выражение в скобке очевидно неположительно.

  Аналогично  

Ответ задачи отсутствует