Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Сфера, вписанная в тетраэдр <i>ABCD</i>, касается его граней в точках <i>A', B', C', D'</i>. Отрезки <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки <i>CC'</i> и <i>DD'</i> тоже пересекаются на вписанной сфере.

На плоскости дан угол и точка <i>К</i> внутри него. Доказать, что найдётся точка <i>М</i>, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через <i>К</i>, пересекает стороны угла в точках <i>А</i> и <i>В</i>, то <i>МК</i> является биссектрисой угла <i>АМВ</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен α,  <i>BC = a</i>.  Вписанная окружность касается прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i>.

Найти длину хорды, высекаемой на прямой <i>MP</i> окружностью с диаметром <i>BC</i>.

Внутри вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> существует точка <i>K</i>, расстояния от которой до сторон <i>ABCD</i> пропорциональны этим сторонам.

Доказать, что <i>K</i> – точка пересечения диагоналей <i>ABCD</i>.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>. Прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>O</i>, причём <i>B</i> лежит на отрезке <i>O</i> и <i>A</i> на отрезке <i>OD. I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>OAB, J</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>OCD</i>, касающейся стороны <i>CD</i> и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка <i>IJ</i> на прямые <i>BC</i> и <i>AD</i>, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Доказать, что отрезок <i>XY</i> делит периметр четыр...

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон правильного треугольника <i>ABC</i>. Три параллельные прямые, проходящие через <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, пересекают, соответственно, прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>C</i>₁<i>A</i>₁, <i>A</i>₁<i>B</i>₁ в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i...